[2009개정 6학년 1학기 수학] 2. 분수와 소수의 나눗셈 10-11
2. 분수와 소수의 나눗셈
08 소수의 나눗셈을 푸는 방법
지난 시간에는 자연수의 나눗셈을 푸는 방식을 다시 한 번 살펴본 바 있습니다.
나눗셈은 뺄셈을 구조화하여 나타낸 연산식입니다. 따라서 나눗셈의 포함제 의미 같은 경우, 기본적으로는 뺄셈과 같은 의미를 드러내지만 풀이 방법은 더 간단합니다. (사실 등분제 의미도 뺄셈과 같은 의미로 바꿀 수는 있습니다. 다만 한 단계가 더 생긴다는 번거로움이 생기지만...) 이는 나눗셈의 세로셈 알고리즘을 이용할 때 구체화됩니다.
나눗셈의 세로셈 알고리즘은 빼내는 작업을 크게크게 해 낼 수 있도록 도와줍니다. 큰 수를 작은 수로 뺄 때, 한 번에 백 번, 이백 번씩, 혹은 열 번, 스무 번씩 뺄 수 있도록 해주는 알고리즘입니다. 그래서 아이들에게 그런 이야기를 먼저 한 후에, 본격적으로 소수의 나눗셈을 푸는 방법을 안내하였습니다. 사용한 문제는 다음과 같습니다.
마법 수프를 한 접시 만들기 위해 소나무 뿌리 0.4cm가 필요하다고 할 때,
2.4cm의 뿌리로는 몇 접시의 마법 수프를 만들 수 있는가?
위 문제는 2.4cm의 값을 0.4cm씩 몇 번이나 빼낼 수 있는가를 묻는 뺄셈 문제이자, 그 의미로 소수 나눗셈의 포함제 - 덜어내는 나눗셈 - 문제이기도 합니다. 소수의 나눗셈을 푸는 방식을, 우리 교과(용 도)서에서는 세 가지 의미로 접근하고 있습니다.
1) 뺄셈 방식
이것은 일일이 빼낸 횟수를 세어 그 값을 나눗셈의 값으로 구하는 방법입니다.
총 6번을 빼내면 2.4cm를 다 사용할 수 있으므로, 나머지는 없고 총 6접시의 수프를 만들 수 있습니다.
2) 분수의 나눗셈 활용
이것은 앞서 배웠던 분수 나눗셈의 풀이를 활용한 것입니다.
소수 나눗셈을 분수 나눗셈으로 고친 후, (분자)÷(분자)로 풀 수 있게 하는 것입니다. 아니면 바로 ×(분수의 역수)로 고쳐서 약분하여 풀어도 되겠지요.
3) 단위를 이용한 수의 변환
이것은 문제 속 의미를 활용하여, cm 단위로 표시된 수를 mm 단위로 고쳐 풀도록 하는 것입니다.
위 세 가지 방식 중 두 가지 방식은 결국 자연수의 나눗셈 문제를 푸는 것과 다름없는 상태가 됩니다.
따라서 문제의 이해는 1)로 접근하고, 문제 풀이는 2)와 3)이 담고 있는 의미를 이용하여, 다음 4)와 같은 알고리즘을 제시합니다.
4) 소숫점을 옮겨 세로셈 알고리즘으로 바꾼다.
위 문제의 의미를 파악하여 2.4÷0.4 의 풀이식을 세우고, 이 식이 결국 24÷4 의 풀이식과 그 값(몫)을 같이한다 - 물론 두 식이 완전히 동일한 식은 아닌 바 나눗셈의 나머지 의미가 다르기 때문이지만, 그 부분은 초등학교 교육과정이 아니므로 굳이 언급하지는 않았습니다 - 는 것을 이용하여, 바로 세로셈 알고리즘으로 접근할 수 있는 것입니다.
이렇게 세로셈 알고리즘을 이용하여 소수 나눗셈을 자연수 나눗셈으로 바꾸어 푼다는 것을, 문제의 의미부터 풀이 방법 그리고 알고리즘까지 설명하였는데, 그렇다면 왜 소수 나눗셈이 자연수 나눗셈으로 옮겨지는가도 알 필요가 있습니다.
그 까닭은, 나눗셈(과 뺄셈)의 편의를 위해 고안된 나눗셈의 세로셈 알고리즘이 한계를 가지고 있기 때문에 그렇습니다. 바로 나누는 수(제수)가 소수가 되는 순간, 세로셈 알고리즘의 자릿수가 틀어지는 어려움입니다. 하지만 세로셈 알고리즘은 너무 편한 알고리즘입니다. 수학 학문이 만들어낸 알고리즘 중 가장 치명적인 매력(!)을 가지고 있는 알고리즘 중 하나인지도 모르겠습니다. 누구나 쉽게 그 의미를 몰라도 사용할 수 있는 알고리즘. 그래서 이것을 사용하기 위하여 나누는 수가 소수인 소수 나눗셈의 문제에서는 나누는 수를 자연수로 바꾸어 주어 문제를 풀게 되는 것입니다. 그래서 소수점을 옮겨야하는데, 그렇게 옮겨도 되는 까닭은 위 2)와 3) 때문이라고 보면 되지 않을까 싶습니다.
아래는 교수-학습 과정을 마친 후 아이들의 배움일지. 이번부터는 가급적이면 교수-학습 과정에 대한 반응을 남긴 모든 아이들의 기록을 골라내려고 하였습니다.
다음 시간에는 소수 나눗셈 중 나누는 수가 소수인 나눗셈의 풀이를 교과(용 도)서를 이용하여 함께 풀어보기로 하였습니다.
아에드 인 마이오렘 델 글로인